逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统 中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。最著名的逻辑悖论是伯特纳德·罗素提出的理发师悖论 。一个男理发师的招牌上写着:告示:城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。那理发师可以给自己刮脸么?如果他不给自己刮脸，他就属于"不给自己刮脸的人"，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢?他又属于"给自己刮脸的人"，他就不该给自己刮脸。伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗?无论你作何回答，你都自相矛盾。同时，罗素的这个悖论的提出引发了第三次数学危机。