希尔伯特的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义，不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。他把几何进一步公理化，首先他叙述一些不加定义基本概念，设想有三组不同的东西，分别叫点、直线和平面，统称为「几何元素」，而它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为「几何空间」。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，亦因此把几何里那些与感性的感觉有关的东西去掉，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。欧几里得的《几何原本》为几何学奠下了基础，但随著数学不断的发展，数学家对《几何原本》再严谨审视下，便发现当中不完备之处，例如：「点是没有部分的」中，什么叫「部分」？「直线是它上面的点一样的平放着的线」中，什么叫「平放」？当然还有最受争议的第五公设（平行公设）。这些问题困扰着数学家多年，他们希望可将《几何原本》的定义、公设和公理加以改善，但因为几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，如：双曲几何、球面几何、射影几何等等，更使数学家不可只关心个别的公理或定义，而