数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性，相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世纪。正是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作"数"，后来引入的虚数概念，数系扩充到复数系，原本的数便称作"实数"，意义是"实在的数"。