超实数(Hyperreal number)是一个包含实数以及无穷大和无穷小的域，它们的绝对值分别大于和小于任何正实数。在17世纪微积分学的初创时期，人们就注意到这门学科的基础问题。I.牛顿和莱布尼茨都曾使用过无穷小，尤其是莱布尼茨及其跟随者，在一阶和高阶无穷小的基础上，发展了微积分理论；他们完全允许引进无穷小和无穷大，而且把它们看做是类似于虚数的理想元素，这些理想元素服从于普通实数的定律。他们所用的记号，在欧洲大陆上被广泛采用。这些记号的优越性，促进了当时微积分理论在欧洲大陆上迅速发展。因此，鲁宾孙把莱布尼茨视为非标准分析的真正先驱者。但是这个理论却存在着显著的内在矛盾──有时把无穷小看作非零而作除数，有时又把它看作是零而舍去。局限于当时的条件，这个矛盾一时还不能彻底解决，难免受到非难和攻击。英国的主观唯心主义哲学家B.贝克莱(1685～1753)主教在1734年著文攻击无穷小为“消失了的量的幽灵”。直到19世纪，A.-L.柯西、B.波尔查诺和K.（T.W.）外尔斯特拉斯用极限理论为数学分析建立了逻辑上严谨的基础，从而促进了数学分析的大发展。