类域论它的基本是用基域的算术性质去刻画它上面的阿贝尔扩张理论。研究数域上阿贝尔扩张的理论。它的基本思想是用基域的算术性质去刻画它上面的阿贝尔扩张。设 k是一数域，I是k的一切非零的分式理想构成的乘法群,I也记作l(k)。对于k上的任一阿贝尔扩张K,存在I的一个狭义子群h与K对应,使得k的每个素理想P在K中分裂的充分必要条件是P属于h。D.希尔伯特于1898年至1899年间作了如下的猜想:设Ck是k的理想类群，于是存在一个惟一的阿贝尔扩张K/k适合下列条件:①K/k的伽罗瓦群G(K/k)≌Ck;②k中每个素理想在K中非分歧;③设k的素理想P在Ck中所代表的类的阶为?。则?|hk, hk=|Ck|