设 Z，N，Q 分别表示全体整数，正整数以及有理数的集合。1844 年，Catalan曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。凯特兰于1842 年提出：“除了8=2^3，9=3^2以外没有两个连续数都是正整数乘幂的猜想”。即不定方程x^p+1=y^q，其中p ，q 均是素数，除了8=2^3，9=3^2 以外没有其它的正整数解。160 多年来数学家们证明了下列定理：欧拉(Euler)首先证明了不定方程x^2-1=y^q，当q=3 时猜想成立；大约1961 年卡塞尔斯证明了不存在三个相邻的正整数是完全幂。1962 年柯召证明了当q > 3 时，不定方程x^2-1=y^q 无正整数解。另外，《数学猜想集》的定理1.3.16 “不定方程x^p+1=y^q，q 是奇素数，没有x > 0，y >0 的正整数解”。设 Z，N，Q 分别表示全体整数，正整数以及有理数的集合。1844 年，Catalan曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。