可测基数

可测基数，集合S上的一个二值测度(a two-valued measure)μ是指一个定义在S的幂集P(S)上的函数，对于每一x∈P(S)，μ(x) =0或μ(x) = 1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素(在μ下) 的值为0，则μ(UΣ)=0。测度μ称为非不足道，如果U(S) =1，并且对于S的每一有穷子集x，μ(x)=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数(measurable cardinal)。波兰数学家巴拿赫(S.Banach)和波兰数学家库拉托夫斯基(K.Kuratowski)于1920年证明了：若则在连续统上不存在(可数可加)测度，因而，可测基数的存在性不是简单的问题。研究可测基数，肇始于1930年的巴拿赫等人。两种可测基数之间有如下关系：首先，由定义可直接可得，二值可测基数必是实值可测基数。其次，美国数学家乌拉姆(S.M.Ulam)于1930年证明了，每个实值可测基数要么要么是二值可测基数。