代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。赋以拓扑的集合叫拓扑空间。拓扑基[topological(base)]设E为拓扑向量空间，则E的任一拓扑自由与拓扑生成的向量族皆称为拓扑基。分离的准希尔伯特向量空间的希尔伯特基是拓扑基。如果E是无限维的可分巴拿赫空间，则任何基皆非拓扑基，而任何拓扑基亦非基。拓扑空间是一般拓扑学的基本研究对象。确定了拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。具有拓扑结构的抽象空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年和里斯(Riesz，F.(F.))于1907年首先引进的。弗雷歇用收敛序列，里斯用聚点分别定义了他们的空间。但里斯的定义过于一般且比较复杂，弗雷歇的定义过于狭窄。第一个令人满意的拓扑空间的定义是豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年用邻域系提出的。他的定义发展了希尔伯特(Hilbert，D.)于1902年和外尔(Weyl，(C.H.)H.)于1913年的思想。