交换代数

交换代数，在抽象代数中，交换代数旨在探讨交换环及其理想，以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。交换环中最突出的例子包括多项式环、代数整数环与p进数环，以及它们的各种商环与局部化。由于概形无非是交换环谱的黏合，交换代数遂成为研究概形局部性质的主要语言。作为代数几何的代数工具，还需要比交换环更进一步的代数结构，这就是「环上的代数」。A称为环R上的代数（或简称为R代数），是指：①(A，+ ，·)为环，②（A，+）为R 模，③对於每个r∈R，α、b∈A，r(αb)=(rα)b=α(rb)。若A又是交换环，则称A为R上的交换代数。R上的交换代数A称为有限生成的，是指存在有限个元素 ，使得 。　设k为域， 为多项式环， 是R 的商域。着名的希尔伯特第14问题是对於k和E的每个中间域l，l∩R作为k代数都是有限生成的。利用不变数理论，日本数学家中田於20世纪70年代举出反例，否定了希尔伯特这个猜想，虽然这个猜想在n=1时是正确的。