半连续，数学概念，定义在拓扑空间E上的数值函数f称为在E的点x0下(上)半连续，如果对满足b<f(x0)(b>f(x0))的R上任一元素b，存在x0的邻域V，使对V上的任一点x，b<f(x)(b>f(x))，如果f在E上的任一点都是下(上)半连续的，则称f在E上是下(上)半连续的。为使数值函数f在x0点是连续的，必须且只须它在该点既是下半连续又是上半连续的。为使f在点x0下半连续，必须且只须其反号函数-f在该点上半连续。设(fi)i∈I为定义在拓扑空间E上、而在E的点x0下半连续的数值函数族， 则族(fi)i∈I的上包络在x0点下半连续，如果集合I是有限的，则族(fi)i∈I的下包络在x0点也是下半连续的，为使拓扑空间E的一个子集是开的(闭的)，必须且只须它的特征函数在E上是下(上)半连续的。在紧空间上定义且下半连续的数值函数f可达到其下确界。如果某个函数 的上图是闭集，我们称 为闭函数。