半群是一个二元运算的代数系统。编辑本段定义定义1:对于某非空集合S ,若存在S上的二元运算"*"使得对于任意的a,b∈S,有a*b∈S(运算封闭)，则称{S, *}为广群。定义2:若{S, *}为广群，且*在S上满足结合律，则称{S, *}为半群。定理1:设{S, *}是一个半群，B包含于S且*在B上封闭，则{B, *}也是一个半群，通常称为{S, *}的子半群。定理2:若{S, *}为半群，且S是有限集，则必有元a∈S, 使a*a=a。定理说明有限半群必有幂等元。定义3:含有幺元的半群称为幺半群。有时幺半群也记{S, *,e}。定理3:设{S, *}为幺半群，则关于*的运算表中任何两行或两列都不同。定理4:{S, *}为幺半群，若对任a, b∈S，有逆元aˉ1, bˉ1, 则1)(aˉ1)ˉ1 = a2)a*b有逆且(a*b)ˉ1 = bˉ1 * aˉ1。编辑本段例子(Z，+)，(Z，×)，(N，×)，(N，+)，(Q，+)，(R，×)，(Zn，+)，(Zn，×)(P(S),∪)，(P(S), ∩)，(Mn，