历史上由欧几里得集大成，建立比较完整的欧几里得几何，后来人们将其从二维、三维空间推广至更高维的(n维)空间。并且，在19世纪，德国数学家高斯发现，一个曲面(或曲线)存在着自身固有、完全内蕴、不依赖于背景空间的几何性质。换言之，比起过去将曲线曲面置于一个二维或三维欧几里得空间(笛卡尔坐标系)，我们实际上可以将曲线或曲面作为一个独立的空间来研究。他1827年的作品《曲面的一般研究》说明了怎样在空间中的任意曲面上描述几何学，怎样把曲面的几何学的某些特性看作内蕴于此曲面，而与曲面如何嵌入欧几里得空间(即日常经验中的，由中学所学欧几里得几何定理支配的那种空间)无关。1854年，德国数学家黎曼在就职演说《论作为几何学基础的假定》中，将这种内蕴微分几何推广至更高维。粗略地讲，从线性代数的角度说，一个欧几里得空间就是一个实数域R上的有限维线性赋范内积空间。