哥德尔是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。内容 第一不完备性定理 任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。 第二不完备性定理 如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。引入悖论就是逻辑上的自相矛盾。最古老的悖论是两千多年前的"说谎者悖论"，若你说它是假命题的话，就可推出它是真命题，反之亦然。其最简形式就是:本命题是假命题。这种悖论属于语义悖论。悖论的种类还有循环悖论等。此处从略。由来虽然与悖论打了几千年交道，可数学家们不觉得他们可怕，因为他们与数学无关。直到20世纪，一小